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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
12. Determine el mayor valor de $k$ para que la desigualdad $x^{2} \ln x \geq k$ sea verdadera para todo $x>0$.
Respuesta
Veamos lo siguiente. Si definimos $f(x) = x^2 \ln(x)$, entonces la desigualdad nos queda así $f(x) \geq k$.
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¿Para qué valores de $k$ se cumple esta desigualdad? Bueno, un montón (infinitos!), mirá el gráfico de $f(x)$ al que habíamos llegado en el Ejercicio anterior:
Si $k = -1$ ¿se cumple? Si claro, la función me queda por arriba. Emmmm, si $k = -1000$, se cumple también. Y así podría seguir y seguir tirando y tirando números... pero se entiende la idea? Cualquier $k$ que pertenezca al intervalo $(-\infty, f(e^{-1/2})]$ va a cumplir que $f(x) \geq k$.
Ahora, a nosotros no nos piden todos, nos piden el mayor. Entonces nos quedamos con $k = f(e^{-1/2})$ y esa es la respuesta del ejercicio :)