Resolución ejercicio 12 de Práctica 7: Estudio de Funciones de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Gutierrez (Única)

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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

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12. Determine el mayor valor de $k$ para que la desigualdad $x^{2} \ln x \geq k$ sea verdadera para todo $x>0$ .

Respuesta

Veamos lo siguiente. Si definimos

f(x) = x^2 \ln(x)

, entonces la desigualdad nos queda así

f(x) \geq k

¿Para qué valores de

k

se cumple esta desigualdad? Bueno, un montón (infinitos!), mirá el gráfico de

f(x)

al que habíamos llegado en el Ejercicio anterior:

k = -1

¿se cumple? Si claro, la función me queda por arriba. Emmmm, si

k = -1000

, se cumple también. Y así podría seguir y seguir tirando y tirando números... pero se entiende la idea? Cualquier

k

que pertenezca al intervalo

(-\infty, f(e^{-1/2})]

va a cumplir que

f(x) \geq k

Ahora, a nosotros no nos piden todos, nos piden el mayor. Entonces nos quedamos con

k = f(e^{-1/2})

y esa es la respuesta del ejercicio :)

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